理學院鄒都副教授在國際微分幾何最高級別期刊《Journal of Differential Geometry》發表學術論文

作者:馮育強編輯:謝曉麗發布時間:2019-10-10瀏覽次數:39

    武科大網訊(通訊員馮育強)近日,理學院楚天學子鄒都副教授的學術論文《The Lp Minkowski problem for electrostatic p-capacity》被《Journal of Differential Geometry》正式接收,論文篇幅為42頁。《Journal of Differential Geometry》的主編是國際數學領袖丘成桐教授,該期刊是微分幾何領域最高級別的專業期刊。

 

Journal of Differential Geometry期刊封面

    一般p-容量在 Lp 變分下產生了Lp p-容量測度,此事實表明容量理論必將進化到Lp階段。在本文中,鄒都副教授率先提出一般p-容量的Lp Minkowski問題:單位球面上的一個正有限的Borel測度,它能成為Lp p-容量測度的充分必要條件是什么?鄒都副教授對所有的p-容量當范數指標p>1時,解決了解的存在性、唯一性、連續性以及解的刻畫等問題,其解決過程需克服幾何體坍塌造成的困難。該成果在國內外同行中產生了較大的反響。

    在凸體類上,一個幾何泛函在一階變分下常常在空間的單位球面上產生一類幾何測度,它是幾何泛函的微分。于是,自然地出現了如下反問題:給定單位球面上的一個正有限Borel測度,它能夠成為某凸體所指定類型的幾何測度的充分必要條件是什么? 這一類反問題稱作幾何泛函的Minkowski問題。

    經典的Minkowski問題由Minkowski本人在發展體積理論(現今也稱作 Brunn-Minkowski理論)時提出,它是體積泛函的Minkowski問題,該問題的一般測度版本被Minkowski本人、Aleksandrov、Fenchel、Jessen等數學家解決.該問題的解析版本是一個退化的Monge-Ampere方程,是微分幾何中圍繞光滑正則閉凸超曲面的Gauss曲率的反問題,而圍繞解的正則性問題引發了Lewy、Nirenberg、Cheng與Yau(丘成桐)、Pogorelov、Caffarelli 等數學家一些列具有高影響力的研究工作。近些年來,由Yau引領的團隊從幾何的角度闡述和改進深度學習模型,而Minkowski問題在其中得到了很好的應用。

    靜電容量有著積分公式,稱作Poincare公式;它有著一階變分公式,稱作Hadamard變分公式;它的微分稱作靜電容量測度。美國藝術與科學院院士、美國數學會副主席、MIT的 David Jerison 教授在1996年發表于Acta Math. 的論文中提出并解決了靜電容量的Minkowski問題。2015 年,CNSXYZ 建立了一般 p-容量的Hadamard變分公式,由此引入p-容量測度以及p-容量的Minkowski問題,并對該問題開展了系統研究。其遺留情形最近由 AGHLV 所解決。

 

鄒都論文截圖  

    紐約大學庫朗數學研究所的Erwin Lutwak教授在1993年發表于《Journal of Differential Geometry》的論文中開創了Lp Brunn-Minkowski理論,通過計算出體積的Lp變分而引入了Lp表面積測度,提出了體積的Lp Minkowski 問題。該問題至今仍是熱點問題,其諸多情形仍未解決。鄒都博士的研究是這一重要問題的階段性成果。

 

附:個人簡介

    鄒都,2001-2008年于武漢科技大學學習,2015 年于上海大學獲理學博士學位。2016年受邀和資助于紐約大學從事學術研究。主要研究領域為幾何,涉及凸體幾何、積分幾何、隨機幾何等方面。

 

數字校報

 

最熱文章

AG真人平台